Dr. Alexander Jóhannesson fæddist 15. júlí 1888 á Gili í Borgarsveit, Skag. Faðir hans var Jóhannes Davíð Ólafsson, sýslumaður í Skagafjarðarsýslu. Foreldrar hans voru prófastur Ólafur Einarssonar Johnsen kaupmanns og Sigríður Þorláksdóttir, systir séra Björns á Höskuldsstöðum. Móðir Alexanders var Margrét Guðmundsdóttir prests í Arnarbæli í Flóa Einarssonar Johnsen. Foreldrar Alexanders voru því bræðrabörn og voru feður þeirra bræður Ingibjargar Einarsdóttur konu Jóns Sigurðssonar forseta.
Alexander varð stúdent 1907, mag.art í þýskum fræðum frá Kaupmannahöfn 1913 og doktor frá Halle í Þýskalandi 1915. Hann kenndi þýsku við Háskóla Íslands og jafnframt íslenska málfræði og germanska samanburðarmálfræði. Hann varð dósent 1926, prófessor 1930 og gegndi rektorsembætti 1932-1935, 1939-1942 og 1948-1954.
Alexander átti mikinn þátt í að móta háskólahverfið sem formaður byggingarnefndar Háskóla Íslands og byggingarnefndar Nýja Garðs, Þjóðminjasafns og Íþróttahúss Háskólans. Hann sat einnig í stjórn Háskólabíós og Happdrættis Háskólans, Hins íslenska bókmenntafélags og Almenna bókafélagsins og var formaður Orðabókarnefndar. Hann var einnig formaður Lýðveldishátíðarnefndarinnar sem annaðist undirbúning lýðveldishátíðarinnar á Þingvöllum 17. júní 1944. Hann skrifaði ýmsar bækur, bæði fræðirit og kennslubækur, auk þess sem hann skrifaði um bókmenntir og þýddi ljóð.
Alexander var mikill áhugamaður um flugmál og aðalhvatamaðurinn að stofnun Flugfélags Íslands (númer tvö) árið 1928 og var framkvæmdastjóri þess. Alexandersflugvöllur við Sauðárkrók, sem er rétt hjá fæðingarstað Alexanders á Gili, heitir eftir honum.
Kona Alexanders var Heba, f. 20.4.1901, Geirsdóttir vígslubiskups á Akureyri Sæmundssonar.
Dr. Alexander Jóhannesson lést í Reykjavík 7.6. 1965.